MATEMÁTICAS 9°C

 PRIMER PERIODO

Ecuaciones.

  • La Función Lineal.
¿Qué es la función lineal?

Una función lineal es una relación matemática entre dos variables, donde su gráfica es una línea recta.

Su forma general es:

f(x) = mx + b o también y = mx + b

Donde:

- x: variable independiente (entrada).

- y: variable dependiente (salida).

- m: pendiente: (inclinación de la recta).

- b: intercepto en el eje y (el valor donde la recta cruza el eje vertical).

Ejemplo:

f(x) = 2x + 1

Esto significa que por cada unidad que aumente x, y aumenta el doble, más 1.

¿Cómo interpretar los elementos?

Pendiente m:

Indica cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanza en x.

- Si m > 0, la recta sube.

- Si m < 0, la recta baja.

- Si m = 0, es una línea horizontal.

Intercepto b:

Es el valor de y cuando x = 0.

Es el punto donde la línea corta el eje y.

Videos explicativos:




  • Sistema de ecuaciones de orden 2x2.
¿Qué es un sistema de ecuaciones 2x2?

Es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (normalmente x y) que se resuelven al mismo tiempo.

Forma general:

ax + by = c

ax + by = c

¿Qué se busca?

Encontrar el valor de x y y que cumplen ambas ecuaciones al mismo tiempo.

Ejemplo.

2x + y = 7

x - y = 1

Videos explicativos:




  • Sistema de ecuaciones de orden 3x3
¿Qué es un sistema de ecuaciones 3x3?

Es un conjunto de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (por lo general x, y, z).

Forma general:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

¿Qué se busca?

Encontrar los valores de x, y, z que satisfacen las tres ecuaciones al mismo tiempo.

Ejemplo:

x + y + z = 6

2x - y + 3z = 1

x + 2y - z = -2

Videos explicativos:

Solución de un sistema 3x3: Método de Reducción




  • Aplicaciones a los Sistemas de Ecuaciones.
¿Qué son las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones?

Son problemas de la vida real que pueden representarse mediante ecuaciones algebraicas. Resolver el sistema de ecuaciones te permite hallar valores desconocidos que cumplen con varias condiciones al mismo tiempo.

¿Cuándo usar sistemas de ecuaciones?

Cuando hay más de una incógnita y más de una condición que debe cumplirse. Ejemplo típico: "Dos cosas cuestan diferente, juntas dan un total, y además hay una relación entre ellas."

Ejercicios para practicar:

1. Problemas de pecios y cantidades.

Una manzana cuesta x pesos, una pera y pesos. Si 3 manzanas y 2 peras cuestan $20, y 2 manzanas y 3 peras cuestan $22, ¿Cuánto cuesta cada fruta?

2. Edad o relaciones personales.

Ana tiene el doble de la edad de Carla. Juntas suman 36 años. ¿Cuántos años tiene cada una?


  • Conocimiento de los conceptos básicos de la estadística. 
¿Qué es la estadística?

La estadística es la rama de las matemáticas que recoge, organiza, analiza e interpreta datos para tomar decisiones o sacar conclusiones.

Conceptos básicos que debes conocer:

1. Población.

Es el conjunto completo de personas, objetos o eventos que se estudian. Ejemplo: Todos los estudiantes de una escuela.

2. Muestra.

Es un subconjunto representativo de la población. Ejemplo: 50 alumnos seleccionados al azar de toda la escuela.

3, Dato.

Es una medida o valor numérico o categórico que se obtiene en una observación. Ejemplo: Edad, peso, color favorito, calificación, etc.

4. Frecuencia.

Cantidad de veces que ocurre un valor.

- Frecuencia absoluta (f): número de veces que aparece un dato.

- Frecuencia relativa (fr): proporción del total fr = f/n

- Frecuencia acumulada: suma progresiva de las frecuencias.

5. Media (promedio).

Suma de todos los datos dividida entre la cantidad de datos.

6. Mediana.

Es el dato central cuando los datos están ordenados.

- Si hay número impar de datos es el del medio.

- Si hay número par es el promedio de los dos del centro.

7. Moda.

Es el valor que más se repite en el conjunto de datos.

- Puede haber más de una moda, o ninguna si todos son distintas.

8. Rango.

Diferencia entre el valor máximo y el mínimo.

Rango = V. máximo - V. mínimo.

Videos explicativos:




  • Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos.
¿Qué es un gráfico estadístico?

Es una representación visual de datos numérico o categóricos que facilita su compresión e interpretación.

Tipos principales de gráficos y cómo se interpretan.

1. Diagrama de barras.

- Representa frecuencias de datos categóricos (por ejemplo: colores, sabores, profesiones).

- Cada barra representa una categoría.

- La altura indica cuántas veces ocurre cada categoría (frecuencia).

Interpretación: La categoría con la barra más alta es la más frecuente.

2. Histograma.

- Similar al gráfico de barras, pero se usa con datos numéricos agrupados en intervalos (como edades, notas, alturas).

- Las barras van pegadas (porque los intervalos son continuos).

Interpretación: El intervalos con la barra más alta tiene más datos.

3. Gráfico circular/pastel.

- Se usa para mostrar proporciones o porcentajes.

- Casa "rebanada" representa una categoría.

Interpretación: Observa qué parte del pastel ocupa cada categoría. Más grande = más importante/frecuente.

4. Polígono de frecuencia.

- Línea que conecta los puntos medios de la parte superior de cada barra de un histograma.

- Útil para ver la tendencia de los datos (crecen, bajan, etc.).

5. Pictograma.

- Usa dibujos o íconos repetidos para representar cantidades.

- Ideal para niños o para presentaciones sencillas.

¿Cómo elaborar un gráfico?

1. Recolectar datos.

2. Organizar en una tabla de frecuencias.

3, Elegir el tipo de gráfico adecuado.

4. Dibujar e identificar los ejes o categorías.

5. Etiquetar con títulos, escalas, y leyendas.

6. Analizar: ¿Cuál categoría es mayor?, ¿Cuál menor?, ¿Cómo varían los datos?

Videos explicativos:





SEGUNDO PERIODO

Función cuadrática. Introducción a la estadística.

  • Elementos de una función cuadrática.
¿Qué es una función cuadrática?

Es una función de la forma:

f(x) = ax^2 + bx + c

Donde: 

- a distinta a 0 (si a = 0, sería una función lineal).

- b y c pueden ser cualquier número real.

Videos explicativos:



Es importante visualizar ambos videos. 


  • Solución de una Función Cuadrática.
La solución de una función cuadrática, también llamada ecuación de segundo grado, se refiere a encontrar los valores de la variable (generalmente "x") que satisfacen la ecuación. Estas ecuaciones tienen la forma general ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes. Existen varios métodos para encontrar estas soluciones: factorización, completación de cuadrados y la fórmula cuadrática.

Factorización:

Completación de Cuadrados:

Fórmula Cuadrática o General:

  • Potenciación y Radicación.
Potenciación.

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número (la base) por sí mismo tantas veces como indique otro número (el exponente). Por ejemplo, 3³ (tres elevado al cubo) significa  3 * 3 * 3, lo cual es 27.


Radicación.

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Dado un número (radicando) y un índice, se busca otro número (raíz) que, elevado al índice, resulte en el radicando. En términos más simples, es encontrar un número que, multiplicando por sí mismo un cierto número de veces (según el índice), dé como resultado el número dado.



  • Propiedades de la Potenciación.
Las propiedades de la potenciación permite simplificar y manipular expresiones con exponentes. Las más comunes son: el producto de potencias de igual de igual (se suman los exponentes), el cociente de las potencias de igual base (se restan los exponentes), la potencia de una potencia (se multiplican los exponentes), la potencia de un producto y la potencia de un cociente (el exponente se distribuye a cada factor), la potencia de un exponente cero (el resultado es 1, para base distinta de 0) y la potencia de un exponente negativo (se invierte la base y el exponente cambia a positivo).



  • Propiedades de la Radicación.
Las propiedades de la radicación permiten simplificar y transformar expresiones con raíces. Son las siguientes: el producto de radicales, el cociente de radicales, la raíz de un producto, la raíz de un cociente, la raíz de una raíz, la raíz de una potencia, la raíz de un número con exponente igual al índice y la radicación como potencia.



  • Simplificación de Radicales.
La simplificación de radicales consiste en expresar un radical en su forma más simple, extrayendo factores que son potencias perfectas según el índice de la raíz. Para lograrlo, se factoriza el radicando (el número dentro del radical) en sus factores primos, se identifican los factores que forman "grupos" iguales al índice de la raíz, y estos factores se extraen multiplicando por ellos la raíz.



  • Término General de una Sucesión.
El término general de una sucesión, representado como a sub n, es una fórmula o expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de la sucesión con solo conocer su posición n. Su objetivo es identificar un patrón o ley en la formación de la secuencia para así predecir cualquier elemento futuro sin tener que enumerar todos los términos anteriores.


 



TERCER PERIODO

Sucesiones y Progresiones.

  • Los Logaritmos.
Los logaritmos son el exponente al que se debe elevar una base para obtener un número determinado. Es decir, son la operación inversa de la exponenciación. Por ejemplo, el logaritmo de 8 en base 2 es 3,  porque 2 elevado a la potencia de 3 da como resultado 8 (2³ = 8). Se utilizan en diversas áreas, como la física y la química, para representar y trabajar con números muy grandes o muy pequeños en escala logarítmicas, como en la escala Richter para terremotos o en la escala de pH para la acidez.


 
  • Progresión Aritmética.
Una progresión aritmética es una secuencia de números donde la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Esta diferencia constante se llama razón o diferencia común de la progresión. Por ejemplo, la secuencia 2, 5, 8, 11, 14 es una progresión aritmética con una diferencia común de 3.



  • Progresiones Geométricas.
Una progresión geométrica es una secuencia numérica donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón (r). La fórmula para el término general (o n-ésimo término) es a sub n * r a la n-1, donde a sub 1 es el primer término. Las progresiones geométricas tienen aplicaciones en finanzas, biología y otras áreas.



  • Números Complejos y sus Propiedades.
Los números complejos son una combinación de un número real y un número imaginario, expresados en la forma a + bi. Donde "a" es la parte real, "b" es la parte real de la parte imaginaria, y "i" es la unidad imaginaria, definida como la raíz cuadrada de -1 (i² = -1). Estos números son fundamentales para resolver ecuaciones que no tienen solución real, como los polinomios, y tienen aplicaciones en campos como la ingeniería, la electrónica y el análisis matemático.



Propiedades de los Números Complejos.

Las propiedades de los números complejos incluyen que son un campo, lo que significa que tienen propiedades como la conmutativa, asociatividad, y distributividad para la suma y la multiplicación. También tienen propiedades específicas como la identidad multiplicativa (1), la existencia de inversos aditivos y multiplicativos, y la propiedad del conjugado.




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