MATEMÁTICAS 7°

 

INSTITUCIÓN EDUCATIVA LA SALLE DE CAMPOAMOR

TEMAS PARA EXAMENES DE SUFICIENCIA

MATEMÁTICAS Y GEOMETRÍA

• Representación en la recta numérica.
• Operaciones básicas con enteros y sus operaciones.
• Problemas de aplicación con enteros.
• Ecuaciones lineales.
• Fracciones equivalentes.
• Operaciones y propiedades de los racionales.
• Problemas de aplicación con racionales.
• Operaciones con números decimales.
• Razones y proporciones.
• Problemas de aplicación con decimales.
• Repartos proporcionales.
• Regla de tres simple y compuesta.
• Porcentaje.
• Conceptos básicos de estadística.
• Tablas de distribución de frecuencias para datos no agrupados.
• Medidas de longitud y perímetro de figuras planas.
• Medidas de área de figuras planas.
• Perímetro y área del círculo.
• Volumen de algunos poliedros.
• Reflexiones sobre rectas.
• Traslaciones.
• Rotaciones.
• Simetrías.

PRIMER PERIODO

Número Enteros.

• Representación en la recta numérica.

Conceptos a tener en cuenta.

Origen: el punto central, representado por el número 0.

Sentido:

- Hacia la derecha del cero (0): valores positivos (+1, +2, +3, …).

- Hacia la izquierda del cero (0): valores negativos (-1, -2, -3. …).

Unidades: la distancia entre números consecutivos debe ser uniforme (por ejemplo, de 1 en 1 o de o.5 en 0.5).

Simetría: Los números positivos y negativos están colocados de forma simétrica respecto al cero. Por ejemplo: -3 está a la misma distancia del 0 que el +3.

Comparación:

- Un número es mayor si está más a la derecha.

- Es menor si está más a la izquierda.

¿Qué es la representación en la recta numérica?

La recta número es una línea recta infinita en ambos sentidos, en la que se representan todos los números reales en orden, desde los negativos hasta los positivos.

Video explicativo:

Como ubicar números enteros en la Recta Numérica

• Operaciones básicas con enteros y sus operaciones.

¿Qué son los números enteros?

Son todos los números positivos, negativos y el cero.

Se representan como:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Operaciones básicas con enteros.

1. Suma

Mismo signo: se suman los valores y se conserva el signo.

Ejemplos:

(+4) + (+3) = +7

(-5) + (-2) = -7

Distinto signo: se restan los valores y se queda con el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos:

(-6) + (+2) = -4

(+8) + (-5) = 3

2. Resta.

Restar es sumar el opuesto del segundo número.

Ejemplos:

5 - 3 = 2

5 - (-2) = 5 + 2 = 7

-4 - 3 = -4 + (-3) = 7

-6 - (-2) = -6 + 2 = -4

3. Multiplicación

Reglas de signos.

(+) x (+) = +

(-) x (-) = +

(+) x (-) = -

(-) x (+) = -

Ejemplos:

3 x 2 = 6

(-4) x 3 = -12

(-5) x (-2) = 10

4. División.

Sigue las mismas reglas de signos que la multiplicación.

Ejemplos:

12 / 4 = 3

-15 / 3 = -5

-16 / -4 = 4

20 / -5 = -4

Videos explicativos:

• Problemas de Aplicación con Enteros.

¿Qué es un problema de aplicación?

Un problema de aplicación es un enunciado que describe una situación real o simulada, donde se debe usar la matemática para resolverlo (como operaciones, ecuaciones, lógica, etc.).

Problemas de aplicación para practicar:

1. Problema de temperatura.

Durante la mañana, la temperatura era de -4°C. A mediodía subió 6°C. ¿Cuál es la temperatura actual?

2. Problemas de dinero.

Luis tenia $15. Luego gastó $22 en una tienda. ¿Cuánto dinero tiene ahora?

3. Problemas de multiplicación.

Pedro pierde $5 cada día durante 4 días seguidos. ¿Cuál es su pérdida total?

4. Problemas de división.

Un grupo de 4 amigos debe -$36 entre todos por una salida. Si dividen la deuda en partes iguales, ¿Cuánto debe pagar cada uno?

• Ecuaciones Lineales.

¿Qué es una ecuación lineal?

Una ecuación lineal es una igualdad matemática que representa una recta y donde la variable aparece elevada solo a la potencia 1.

Forma general de una ecuación lineal con una variable:

ax + b = 0

Donde:

x es la variable.

a y b son números reales.

a distinta de 0

Ecuaciones lineales con dos variables:

Forma general:

y = mx + b

Donde:

m es la pendiente (indica la inclinación de la recta).

b es el intercepto con el eje y.

x e y son variables.

Esta forma se usa para representar rectas en el plano cartesiano.

Videos explicativos:

• Fracciones equivalentes.

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Las fracciones equivalentes son fracciones diferentes que representan el mismo valor o cantidad.

Video explicativo:

SEGUNDO PERIODO

Números Racionales.

• Operaciones y propiedades.

¿Qué son las operaciones matemáticas?

Son acciones que se realizan entre números para obtener un resultado.

¿Qué son las propiedades en matemáticas?

Son reglas o características que siempre se cumplen en las operaciones.

Videos explicativos:

• Problemas de aplicación.

Ahora práctica resolviendo los siguientes ejercicios de aplicación:

1. Suma y propiedad conmutativa.

Ana tiene 35 manzanas y su hermano Juan tiene 48. ¿Cuántas manzanas tienen entre los dos?

2. Suma y propiedad asociativa.

En una biblioteca ha 120 libros de matemáticas, 80 de ciencias y 100 de historia. ¿Cuántos libros hay en total?

3. Multiplicación y propiedad distributiva.

Una caja tiene 5 paquetes, y cada paquete contiene 8 lápices y 4 lapiceros. ¿Cuántos objetos hay en total?

4. División y propiedad de la identidad.

Un niño tiene 24 caramelos y los quiere repartir equitativamente entre 2 amigos. ¿Cuántos caramelos les da?

• Operaciones con números decimales.

¿Qué son las operaciones con números decimales?

Son las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) que se realizan cuando los números tienen parte decimal, es decir, valores con comas, como:

- 3,5

- 0,75

- 12,04

- 100,8

Las operaciones son:

1. Suma.

Se combinan dos o más decimales:

Ejemplo: 2,4 + 1,35 = 3,75

2. Resta.

Se encuentra la diferencia entre dos cantidades decimales:

Ejemplo: 5,0 - 2-75 = 2,25

3. Multiplicación.

Se repite una cantidad decimal varias veces o se calcula una parte de otra:

Ejemplo: 3,2 x 2 = 6,4

4. División.

Se reparte una cantidad decimal en partes iguales, o se calcula cuántas veces cabe una unidad en otra.

Ejemplo: 6,4 / 2 = 32

Videos explicativos:

Suma y Resta de decimales

Multiplicación de decimales

División de decimales

• Proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Matemáticamente, se representa como a/b = c/d, lo que significa que la relación entre a y b es la misa que entre c y d, Estas proporciones se pueden aplicar en la vida diaria, como en la relación entre la cantidad de productos y su precio, o en la comparación de mapas con terrenos reales.

Ejemplo:

Si un automóvil consume 3 galones de gasolina para recorrer 120 km, y luego recorre 240 km con 6 galones, esto es una proporción porque 120/3 = 40 y 240/6 = 40.

Cómo verificar una proporción.

Producto cruzado:

Se puede verificar una proporción multiplicando en cruz: si a/b = c/d, entonces a * d = b * c.

Ejemplo:

En el ejemplo del automóvil, 3 * 240 = 720 y 120 * 6 = 720, por lo tanto, la proporción es correcta.

TERCER PERIODO

Pensamiento Numérico y Aleatorio.

• Regla de Tres.

La regla de tres es un procedimiento matemático para resolver problemas de proporcionalidad donde se conocen tres valores y se busca encontrar el cuarto valor desconocido. Puede ser directa, cuando las magnitudes aumentan o disminuyen en la misma proporción, o inversa, cuando una magnitud aumenta la otra disminuye. Para resolverla, se multiplican los números en diagonal y se divide el resultado por el número restantes.

Regla de tres (3) compuesta.

La regla de tres compuesta es un método para resolver problemas matemáticos donde se relacionan tres o más magnitudes para encontrar un valor desconocido, a diferencia de la regla de tres simple que solo trabaja con dos magnitudes. Para resolver un problema de regla de tres compuesta, se debe identificar las magnitudes y sus valores, determinar si las relaciones entre ellas son directas o inversas, y luego establecer y resolver una ecuación.

Ejercicios.

1. 6 obreros construyen una pared en 8 días trabajando 5 horas diarias. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 6 horas diarias para hacer la misma pared?

2. 4 máquinas producen 240 piezas en 5 horas. ¿Cuántas piezas producirán 6 máquinas en 8 horas?

3. 3 grifos llenan un depósito en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán 4 grifos en llenas 2 depósitos iguales?

4. 5 trabajadores hacen una carretera de 60 km en 30 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 10 trabajadores en construir una carretera de 120 km trabajando 6 horas diarias?

5. 2 camiones transportan 48 toneladas en 4 viajes. ¿Cuántas toneladas transportarán 5 camiones en 6 viajes?

6. Una fábrica con 15 empleados produce 1.200 en 10 días. ¿Cuántas unidades producirán 25 empleados en 8 días?

7. 8 pintores pintan una casa en 12 días trabajando 6 horas al día. ¿En cuántos días pintarán la casa 6 pintores trabajando 8 horas al día?

8. 4 impresoras imprimen 5.000 hojas en 10 horas. ¿Cuánto tiempo necesitarán 6 impresoras para imprimir 9.000 hojas?

9. 3 cocineros preparan 60 raciones de comida en 2 horas. ¿Cuántas raciones prepararán 5 cocineros en 3 horas?

10. Una máquina produce 500 piezas en 4 horas. ¿Cuántas piezas producirán 3 máquinas en 10 horas.

11. Un tren recorre 300 km en 5 horas a 60 km/h. ¿Cuántas horas necesitará para recorrer 450 km a 90 km/h?

12. Una cuadrilla de 6 obreros cava 20 metros de zanja en 4 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántos metros cavará una cuadrilla de 9 obreros en 6 días trabajando 6 horas diarias?

13. 12 hombres pueden hacer una obra en 18 días trabajando 10 horas por día. ¿En cuántos días la harán 8 hombres trabajando 12 horas por día?

14. 5 albañiles construyen una barda en 10 días trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 10 albañiles trabajando 9 horas diarias?

15. Un equipo de limpieza de 4 personas limpia 3 pisos de un edificio en 6 horas. ¿Cuántas horas necesitarán 6 personas para limpiar 5 pisos.

16. 3 jardineros riegan un jardín de 600 m² en 4 horas. ¿Cuánto tardarán 5 jardineros en regar un jardín de 900 m²?

17. 6 costureras confeccionan 120 camisas en 8 días trabajando 6 horas al día. ¿Cuántas camisas confeccionarán 9 costureras en 10 días trabajando 5 horas al día?

18. 4 grúas levantan 80 toneladas en 5 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas toneladas levantarán 6 grúas en 4 días trabajando 10 horas diarias?

19. Un camión consume 20 litros de combustible para recorrer 160 km a 80 km/h. ¿Cuántos litros consumirá para recorrer 240 km a 60 km/h?

20. 8 operarios arman 320 paquees en 4 días trabajando 6 horas por día. ¿Cuántos paquetes armarán 12 operarios en 3 días trabajando 8 horas por día?

• Porcentajes

En matemáticas, un porcentaje representa un número como una fracción de 100, usando el símbolo ℅. Se utiliza para expresar una parte de un total o comparar cantidades. Por ejemplo, el 50% significa 50 de cada 100. Para calcular un porcentaje, puedes multiplicar la cantidad por la fracción decimal del porcentaje (por ejemplo, 0.50 para el 50%).

• Interés.

El interés simple es un cálculo matemático de interés se aplica únicamente sobre el capital original de un préstamo o inversión, sin que se sumen los intereses generados en periodos anteriores. Se calcula usando la fórmula I = C * i * t (Interés = Capital * Tasa de interés * Tiempo) y no tiene en cuenta la acumulación de interés, a diferencia del interés compuesto.

• Repartos Proporcionales.

El reparto proporcional es un método para dividir una cantidad total entre varias partes de manera que cada parte sea directamente o inversamente proporcional a ciertos números o índices. Existen dos tipos principales: el reparto directamente proporcional, donde a mayor índice mayor parte, y el reparto inversamente proporcional, donde a mayor índice menor parte. Para resolver estos problemas, se utiliza la regla de tres.

• Conceptos Básicos de Estadística.

Los conceptos básicos de estadísticas incluyen: la población (el conjunto total de elementos a estudiar), el individuo (cada elemento de la población), la muestra (un subconjunto representativo de la población), el dato (un valor obtenido de un estudio) y la variable (una característica que puede tomar diferentes valores). 

Elementos Fundamentales.

- Población: El conjunto completo de todos los elementos que son objeto de un estudio estadístico.

- Individuo o Unidad Estadística: Cada uno de los elementos que componen la población.

- Muestra: Una parte o subconjunto de la población que se selecciona para el análisis.

- Dato: Cada uno de los resultados o valores obtenidos después de realizar el estudio.

- Variable: Una característica o propiedad que puede variar entre los individuos de una población o muestra.